Was ist Mathematik?

WOCHENDE WISSEN
Samstag,17.Juni.2006
WAZ

Von Ziegen und Schlangen
2. Folge der Serie "Was ist Mathematik?"
Statistik steigert die persönlichen Gewinnchancen und hilft Pharmakonzernen, Geld und Versuche zu sparen

Der Mathematiker Holger Dette befasst sich zum Beispiel mit Prognosen von Börsenkursen und stöhnt über "den Fluch der Dimension".

Foto: Daniel Roth

Von Aeneas Rooch
Angenommen, Sie stehen im Finale der TV-Show "Geh' aufs Ganze" und dürfen eines von drei Toren wählen. Hinter einem befindet sich ein Auto, hinter den anderen beidenein Zonk, eine Niete. Sie wählen Tor 1.Der Moderator zeigt Ihnen, dass hinter Tor 2 ein Zonk sitzt, und fragt, ob Siebei Ihrem Tor 1 bleiben oder zu Tor 3 wechseln wollen. Was tun Sie? Hinter einem der beiden verbleibendenTore muss ja das Auto stehen, also ist es eine Fifty-fifty-Entscheidung. Falsch!Verblüffender Weise verdoppeln sich Ihre Gewinnchancen, wenn Sie wechseln. Von denKandidaten, die sich umentscheiden, gewinnen auf lange Sicht doppelt so viele wie vondenen, die bei ihrer ursprünglichen Wahl bleiben. Wer sich das nicht vorstellen kann, seiberuhigt: Das sogenannte "Ziegenproblem" (Niete = Ziege) wurde lange heftig diskutiertund ist ein hübsches Beispiel dafür, wie uns unsere Intuition auf eine falsche Fährtelockt. Man kann berechnen, dass sich die Gewinnchance verdoppelt


und man kann es auch simulieren (http://www.mathematik. uni-osnabrueck.de/staff/phpages/koch/ziegen/node2.html). Knapp gesagt: Wenn Sie sich zum Gewinnen umentscheiden, haben Sie anfangs wohl einen der Zonks gewählt (die Wahrscheinlichkeit beträgt 67%). Wenn Sie gewinnen, ohne das Tor zu

"Mathematik ist auch dort wichtig,wo es zunächst nichts zu rechnen gibt"

wechseln, haben Sie von Anfang an das Auto erwischt (Wahrscheinlichkeit 33%).
Das Ziegenproblem zeigt, wie wichtig Mathematik auch dort ist, wo es auf den ersten Blick nichts zu rechnen gibt. Genau dies interessiert den Statistiker Holger Dette. Der Mathematikprofessor an der Ruhr-Universität Bochum hat nichts mit Lotterien, Datentabellen oder Balkendiagrammen zu tun, sondern entwickelt und optimiert Verfahren. "Pharmakonzerne fragen sich zum Beispiel, wie ein neues Medikament zu dosieren ist,

damit es einerseits noch wirkt und andererseits möglichst wenig Nebenwirkungen verursacht", erklärt er. Prinzipiell kann man solche Fragen beantworten, wenn genug Daten erhoben werden. Doch jeder Medikamententest kostet, und je weniger Versuchstiere oder Patienten untersucht werden müssen, umso besser. "Bei den Fragen, wie viele Daten erhoben werden sollen, um verlässliche Aussagen treffen zu können, kann die moderne Statistik helfen, Experimente und damit Kosten zu sparen." Ein weiteres Forschungsgebiet sind Analyseverfahrenfür hochdimensionale Datenstrukturen. "Wir nennen so etwas den Fluch der Dimension", sagt Prof. Dette. Dem begegnet man zum Beispiel an der Börse, wo Aktien-, Zins- und Wechselkurse sekündlich notiert werden - eine riesige Datenmenge. Wie kann manhier möglichst genaue Prognosen treffen und Preise für Derivate festlegen, ohne alle Daten in die Rechnung einbeziehen zu müssen? Der Statistik zu glauben, ist gar nicht so leicht,

denn oft widerspricht unsere Intuition. Ein Beispiel: Durchschnittlich eine von 1000 Personen ist Tbc-krank; ein Test zur Erkennung zeigt in 95% aller Fälle eine vorliegende Erkrankung an, doch bei Gesunden wird in 4% der Fälle irrtümlich Tbc diagnostiziert. Wenn der Test nun ausgibt, Sie seien krank, ist keine Panik nötig:Erstaunlicher Weise haben nur zwei von 100 der Personen, die beim Test positiv reagieren, tatsächlich Tbc (für Mathematik-Experten: z.B. unter http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Bayes steht der Grund für dieses Ergebnis).
Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Lotto eine Ziehung zwei Mal auftritt, ist gar nicht so gering, wie man meinen könnte: Obwohl es fast 14 Millionen Möglichkeiten gibt, einen Tipp-Schein auszufüllen, bestehtschon nach nur 4500 Lotto-Ziehungen eine Chance von mehr als 50%, mindestens eine Reihe zu tippen, die es schon einmal gab.Für Firmen, die ihre Kosten minimieren wollen, führt kein Weg an statistischen Methoden vorbei.


Und wer im Reisezentrum der Bahn Schlange steht, denkt in der Regel nicht daran, dass es eine aktuelle mathematische Forschungsfrage ist, ob man den Bedarf auch mit weniger Schaltern decken kann oder wie viele man mindestens zusätzlich einrichten muss. Der britische Schriftsteller H.G. Wells hat schon vor über 100 Jahren erkannt:
"Statistisches Denken wird eines Tages genauso wichtig sein für eine aufgeklärte Gesellschaft wie die Fähigkeit, zu lesen und zu schreiben", längst gehören Aufgaben wie das Ziegenproblem auf den Stundenplan der Oberstufe. Alle, die sich nicht dafür interessieren, brauchen sich nicht zu schämen - es interessiert sich ja auch nicht jeder für z.B. Archäologie. Sie müssen aber damit leben, dass die anderen doppelt so oft das Auto gewinnen.
In der nächsten Folge:
Flächen, die keine Rückseite haben - und womit sich moderne Geometrie sonst noch befasst.


Amplonius-Gymnasium